赌局
抛硬币
两人对局，先赢满 n 局者得全部赌金。中途叫停时，A 还需赢 a 局、B 还需赢 b 局——赌金该怎么分才公平？按双方获胜概率分（Pascal 与 Fermat 1654 年的通信争的正是这件事）。
本金 i、目标 N，每注 ±1，中奖概率 p。先摸到 N 后破产的概率：p=1/2 时为 i/N；p≠1/2 时为 (1−(q/p)i)/(1−(q/p)N)。
本金 B、赌桌上限 L、基注 1：输就翻倍、赢就回 1，达到 +目标 即收手。翻倍序列连亏 k 次需投入 2k−1，而连亏 k 次的概率恰是 2−k。
1654 年，嗜赌的法国骑士德·梅雷（Antoine Gombaud, Chevalier de Méré）向帕斯卡（Blaise Pascal）提了一个让他头痛的问题：两人约定先赢若干局者拿走全部赌金，可赌局中途被迫叫停——这时赌金该怎么分？梅雷想不通自己「稳赢」的下注为何常常赔钱，于是这场贵族消遣，被硬生生推成了概率论的开端。
意大利人卡达诺（Gerolamo Cardano，1501–1576）是医生、占星家，也是赌徒。他在 1564 年写成了《论赌博》（Liber de Ludo Aleae），系统讨论了骰子各面的等可能性、以及复合事件的计算——手稿直到 1663 年才出版，比帕斯卡的信晚了好几年。
卡达诺已隐约摸到了「有利结果数 / 总结果数」这一概率的雏形。他是第一个认真把赌博当数学题做的人，却因为手稿被压在箱底近一百年，错过了「概率论之父」的名号。
荷兰人惠更斯（Christiaan Huygens）1657 年出版了《论赌博中的推理》（De ratiociniis in ludo aleae），这是历史上第一本正式出版的、讲概率的书。他引入了「期望」（expectation）的观念：一个赌局的合理价值，等于各结果收益按其概率的加权平均。
全书以命题形式写就，把帕斯卡与费马的通信提炼成可传授的定理，影响了几代学者——雅各布·伯努利正是读着它，走上了概率论之路。
1738 年，瑞士人丹尼尔·伯努利（Daniel Bernoulli）提出「圣彼得堡悖论」：庄家掷硬币，直到第一次出现正面为止，若在第 k 次出现正面则付你 2k 元。这个赌局的期望收益是无穷大（½·2 + ¼·4 + ⅛·8 + … = 1+1+1+…），可现实中几乎没人愿意花大价钱玩它。
伯努利的解释是：金钱的价值不是线性的——第一块钱远比第一万块钱珍贵。他由此提出边际效用的概念，成为现代经济学的先声。期望值不够用时，数学就得请出「效用」。
「马丁格尔」（martingale）本是法国普罗旺斯地区对「用两根缰绳控制马匹」的马具的称呼，18 世纪被借用到赌博里，指「输一次就把赌注翻倍」的投注法。今天它在数学里有个更精确的名字——鞅（martingale）：一个「未来的期望恒等于当前值」的随机过程。
而现代概率论证明了一条冷冰冰的定理：只要每注期望为 0，任何有限的投注策略都无法把公平赌局变成正期望。加倍投注只是把「很多次小赢」和「一次大输」重新打包，期望依旧是 0。
远在帕斯卡之前，中国古代数学就有了处理「不确定分配」的智慧。《九章算术》（约公元前 1 世纪）里的「盈不足术」：若每人出 8 钱则盈 3 钱、每人出 7 钱则不足 4 钱，问人数与物价——通过两次试算的「盈余/不足」，用线性插值算出答案。它虽然处理的是确定问题，却已包含「用若干次观测逼近未知量」的思想，与今天的数值方法遥相呼应。
而在「公平分配」这件事上，中算家也早有比例分配（衰分术）的成熟做法。东西方各自抵达了「按比例分配」的朴素直觉，只是概率论需要一次真正把「随机」写进公式的飞跃。
把本馆的三件工具串起来看，同一个赌局会讲三种话：
赌徒破产说的是结局的概率——本金 10、目标 20，公平硬币下赢面恰好是 10/20 = 1/2，与你怎么押、押多少次都无关（p=1/2 时概率就是 i/N）。
点数分配说的是中断时如何分金——按继续比赛各自的胜率分，这正是「期望」最古老的应用。
马丁格尔说的是期望的牢笼——任你翻倍、缩注、随机押，公平赌局的期望永远是 0。数学上没有稳赢的赌法；有的只是「运气」和「算术」，而算术说了算。