当前球道
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球馆里有一排球瓶，凯尔先生最爱考较来客：每轮您出手，可以击倒任意一根瓶（直球），也可以击倒两根相邻的瓶（双瓶球）——但绝不能碰倒不相邻的两根。击倒的地方留下缺口，瓶列就此断成两段，此后两段各自为政。谁击倒最后一根瓶谁赢。
这个游戏叫 Kayles，名字来自法语 quilles——正是「球瓶」的意思。
凯尔斯游戏由英国最伟大的谜题大师 Henry Dudeney（1857–1930）发明，收在他的名著《坎特伯雷谜题集》（The Canterbury Puzzles）第 73 题里。Dudeney 与美国的 Sam Loyd 并称 19 世纪两大谜题家，他喜欢把纯数学藏进小游戏里——凯尔斯就是最经典的一件。
凯尔斯是「无偏博弈」：双方走法完全相同，轮到谁无子可动谁就输。这类游戏有统一的理论——每个局面都对应一个整数 Grundy 值（也叫 nimber）：
局面必败 ⟺ Grundy 值 = 0。
而一个「拼起来」的局面（比如被击断的两段瓶列、或几条球道），其 Grundy 值就是各部分的按位异或。
设瓶列长 n。第一手把瓶列从正中劈成两段等长的：n 为奇数就击倒正中间那根，n 为偶数就击倒正中间相邻的两根。此后无论对手在左边怎么打，您就在右边照做同样的一手（镜像策略）。
于是每一轮对手都有得打、而您永远跟得上——最后一根瓶必落在您手里。n≥1 的单道，先手稳赢。
单列长度 n 的 Grundy 值 G(n) 满足递推：把这一手拆成左右两段，取它们 Grundy 值的异或，再对所有这些可能取「最小未出现值」（mex）。算出来是这样一串（OEIS A002186）：
Guy 与 Smith 在 1956 年给出了完整分析，证明这串值从 n=71 起周期为 12——无限长的序列，竟由 12 个数循环讲完。
凯尔斯不只是一道谜题。在 Dots and Boxes（点格棋）这类经典对局里，残局的「长链」争夺常常可以化简成凯尔斯局面——所以想真正下好点格棋，就得先懂凯尔斯。
这也解释了它为何在组合博弈论教材里长盛不衰。
把「2 根相邻」改成「2 根任意」就得到 Dawson's Kayles（八进制博弈 0.07）；把胜负条件倒过来（无法出手者赢）是「反规则版」，由业余数学家 William Sibert 于 1973 年解出、1989 年才发表。凯尔斯本体则是八进制博弈 0.77，成为这一类游戏的标杆样本。