一副牌里的组合数学：四张牌、加减乘除加括号，把 24 拼出来。 本工坊的求解器对全部 1820 种牌型做穷举——「无解」也是被程序证明的结论； 想更疯一点？阶乘、乘方、开方、对数、三角随您装配。
输入 1–13 的四张牌（重复允许）。经典规则恒开：四则 + 括号、中间值允许分数、穷举全部合并树—— 给出「无解」即为该规则下的严格证明。勾选扩展算子后按声明边界再搜一轮。
「二十四点」是华人世界流传最广的算术游戏之一（商业版由 Robert Sun 于 1988 年定型）。 规则极简：四张牌，用加减乘除和括号把 24 凑出来，每张牌恰好用一次。它的数学味道在于三点： 搜索空间（四张牌的合并树只有几千个节点，手算可枚举、机器可穷举）； 分数中间值（像 3,3,8,8 这样「最硬」的手，必须借助 8÷3 这种分数才能通向 24）； 无解的可证性（穷举即证明——本站对全部 1820 种牌型给出了逐手判决）。
点数 1–13、四张可重复：牌型数是多重组合 C(13+4−1,4)=C(16,4)=1820。 经典规则下逐手穷举： 手可解、 手无解。 「唯一解」的手（结构去重后只有一种拼法）有 种，是天然的关底 boss——3,3,8,8 便是其中最著名的一手。
阶乘与开方是 24 点扩展的两大功臣：458 手经典无解牌里，至少 手被阶乘救活， 至少 手被开方救活（扩展搜索带算力预算，增益为预算内下界；「无解」判决则不依赖预算—— 预算耗尽只会漏报「可解」，绝不会误报「无解」）。但三角函数与对数必须先立边界——本站的声明是： n! 仅对整数 0–6、链深 ≤2；√ 完全平方取精确值；乘方仅整指数 −5..5；lg 取精确特例 lg(1)=0、lg(10k)=k； sin/cos/tan 除 sin 0=0、cos 0=1、tan 0=0 外只走数值，且解须满足 |x−24|<10−9 才算命中、并标注「数值解」。 在这些边界内，求解器对每手的搜索是完备的。
24 = 4×6 = 3×8 = 2×12 = (5−1)×6 = …… 把目标 24 做因式分解，是人类的启发式； 而求解器不靠启发式——它老老实实走遍每棵合并树。两相对照恰是本站的教益： 启发式给您速度，穷举给您真理。当您喊出「无解！」的时候，是全谱普查在替您背书。
Robert Sun《The 24 Game》；Martin Gardner 对算术谜题的评论（Spheres of Nature 一系的数字谜题传统）； Ball–Coxeter《Mathematical Recreations》；关于穷举与可解性统计的公开整理（如 1820 牌型 458 无解的通行统计，与本站实算一致）。 全部关卡数据、解数与「无解」判决均由本站求解器程序实算并经对拍校验。