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非等边密铺工坊 · Pythagorean Tilings ｜ 九章格数学 PhiloMath

当边长不再相等

上一站我们认定「等边（边长皆为 1）边对边」——这一站把尺子松开：允许边长不同、允许非边对边，密铺的世界立刻换了一副面孔。主角是毕达哥拉斯密铺：两种尺寸的正方形铺满平面，而它藏着一个一千二百年的秘密——把它的基本域切开、平移，您就亲眼看见勾股定理。

非等边图鉴 · 八种花样

「非等边」= 瓦片的边长不止一种（或瓦片根本不是正多边形）。每张卡片都是从引擎完整构造、经采样验证无缝无叠的真实密铺；点击卡片进入「勾股证明」并载入对应参数。

勾股证明 · 一格藏着一条定理

毕达哥拉斯密铺的平移格 Λ 由 u = (a, b) 与 v = (b, −a) 张成——两个互相垂直、长度同为 c = √(a²+b²) 的向量。于是 Λ 的基本域是一个斜着的 c 方格。数一数：每个 c 方格里恰好摊到 1 个 a 方 + 1 个 b 方——面积守恒当场给出 a² + b² = c²。点「见证剖分」，看 c 方格的碎片平移归位、拼成两个正方形。
a : b = 2.00 : 1
a 方（大） b 方（小） 基本域 c 方格 剖分碎片飞行中

探索器 · 把等边密铺捏成非等边

任何密铺经过仿射变换（拉伸、剪切）仍然是密铺——瓦片跟着变形，缝隙不会多出来。但正多边形几乎一定会被捏坏：只有「等比缩放」保得住正多边形与等边。拖动三个旋钮，亲手把上一站的等边密铺捏成非等边，实时读出边长种类与正则性判决。
基底密铺 横向 × 1.00 纵向 × 1.00 剪切 0.00

为什么毕达哥拉斯密铺独一无二