1874 年 Noyes Chapman 发明、Sam Loyd 推广成 19 世纪最疯狂的数学玩具——140 年来让无数人上瘾的滑块拼图，本质上是一场置换群的现场直播。
N×N 的棋盘上有 N²−1 块数字方块和一个空格。点击与空格相邻的方块，它就滑进空格；也可以用方向键推方块。目标是把局面复原成 1,2,…,N²−1 按序排列、空格归位右下角。📱 手机上：轻点空格旁的方块即可滑入；或在盘面上向目标方向滑动（方块跟着手指滑入空格）。
| 记号 | 含义 | 例子（9 格棋盘） |
|---|---|---|
| σ | 把空格看作最大符号 N² 后，棋盘读出的 N² 元置换 | σ = (2,5,3,9,1,4,6,7,8) |
| inv(σ) | 逆序数：前面比后面大的数对个数 | 2>1, 5>1, 5>4, 9>1,4,6,7,8 → 7 个 |
| sgn(σ) | 符号：(−1)^inv。偶置换 +1，奇置换 −1 | inv=7 → sgn = −1 |
| (a b) | 对换：交换 a、b 两个符号，是奇置换 | 每滑一步 = 空格与方块的一个对换 |
| An | 交替群：n 元偶置换全体，|An| = n!/2 | |A₉| = 181 440 |
把棋盘像国际象棋一样黑白染色（右下角染白）。空格每滑一步，必然从一色跳到另一色；同时每一步是 N² 元置换中的一个对换，σ 的符号必然翻转。
两件事同步翻转，所以乘积 I = sgn(σ) × (−1)^空格距右下角的曼哈顿距离 在整个游戏过程中纹丝不动——这就是贯穿七部工坊的「不变量」思想。目标态 I = +1，于是：
准备好了就去「滑动工坊」——实时仪表会把每一步的 σ、逆序数、奇偶性全部直播给您看。
滑动、观察仪表、盯着不变量。当心 Sam Loyd 的 1000 美元陷阱。
客户送来一面滑块墙：有人声称「只要肯磨，任何局面都能复原」。您的任务：用判据 I = sgn(σ)×(−1)^taxicab 鉴定每个局面可解与否。先算 I，再作答；答错会看到完整推理。
滑块拼图理论的最漂亮成果，全部可由工坊仪表亲手验证。
N×N 滑块拼图的局面 s 可解到目标态 ⟺ sgn(σₛ) = (−1)^taxicab(空格ₛ)。等价地：全部 (N²)! 个排列恰好一半可解，两半由不变量 I 隔开。
不变量：I = sgn(σ)·(−1)^taxicab。每滑一步，σ 多乘一个对换（sgn 翻转），空格走一格（taxicab 奇偶翻转）→ I 不变。目标态 I=+1，故 I=−1 的局面永远到不了——这是「必要性」。
充分性（I=+1 ⟹ 可达）较难：经典做法是构造性地证明 3-循环（恰是偶置换的生成元）都能由滑动实现——空格绕一个 2×2 方块转一圈，恰好循环挪动三块。An 由 3-循环生成，于是从目标态出发能到达全部 I=+1 的局面。3×3 情形本工坊已用穷举 181 440 态逐点核实。
| 棋盘 | 排列总数 (N²)! | 可解态 = (N²)!/2 | 占比 |
|---|---|---|---|
| 8-puzzle | 362 880 | 181 440 | 50% |
| 15-puzzle | 20 922 789 888 000 | 10 461 394 944 000 ≈ 1.05×10¹³ | 50% |
| 24-puzzle | 1.55×10²⁵ | 7 755 605 021 665 492 992 000 000 ≈ 7.76×10²⁴ | 50% |
把「空格出发又回到右下角」的滑动序列收集起来，它们诱导 15 块方块上的置换，全体构成一个群——15-puzzle 群。Johnson & Story 证明它不是别的，正是交替群 A₁₅（全部 15 元偶置换）。
直观：空格走了 d 步回到原地（棋盘二部染色 ⟹ d 为偶），σ = d 个对换之积 ⟹ 偶置换，所以这个群 ⊆ A₁₅；反方向的生成（3-循环实现）与定理一充分性同理。它告诉您：Sam Loyd 的 14-15 交换态不在此群中，也无任何一个滑动序列能实现它——1000 美元永远发不出去。
| 棋盘 | 最难局面需要的最少步数 | 备注 |
|---|---|---|
| 8-puzzle | 31 步 | 本工坊穷举 181 440 态实测：恰有 2 个最难态 |
| 15-puzzle | 80 步 | Korf 2008 用 IDA* 逐态求解得出 |
| 24-puzzle | 152 步 | Korf & Felner 2002 |
柱状图：到目标态距离为 d 的局面数。左半边（偶深度）比右半边胖——因为空格回家的 20 160 个角落态全在偶侧。最难的两个态在 31 步处几乎看不见。
本页所有答案与数据经程序验证（validate_puzzle.py，32 项断言），页面加载时另跑 JS 数学自检（见页脚）。
第 1 课时：规则卡 + 滑动工坊。让学生洗牌、复原 3×3，盯着仪表发现「σ 奇偶每步翻转」「空格距离奇偶每步翻转」→ 自己猜出不变量。Sam Loyd 挑战留作结尾悬念。
第 2 课时：鉴定侦探（先纸笔算 I 再作答）+ 定理之家。探究题 3（2×2 棋盘为何只有 12 个可解态）是绝佳小组讨论题——它逼学生发现 2×2 的可达集比 (4)!/2=12 小这件事的真相：4!/2=12 恰好相等，但结构上 2×2 可达态是 A₄ 通过特殊嵌入实现的……（见答案：12 态全部可达，判据仍成立，但 3-循环的实现方式退化成空格绕 2×2 转圈=三块轮转，正是 A₄=⟨3-循环⟩ 的活教材）。
衔接：与第五、六部（带饰/壁纸群）呼应——那里问「对称性生成什么群」，本部问「游戏生成什么群」；不变量思想一脉相承（轨道-稳定子 / 群作用分轨道）。
Q：为什么传统口诀「逆序数 + 空格所在行」只对 4×4 有效？ A：那是统一判据在 4×4 的特化形式。空格「从底数第几行」的奇偶 = taxicab 的奇偶（列差恒为 0 的假设下不完全对！必须同时看列）。本工坊统一用曼哈顿距离，三尺寸通吃，且不会在「空格横向偏移」的局面上翻车——这正是传统口诀最常见的教学事故。
Q：24-puzzle 也满足同样判据？ A：是。5×5 是奇数宽，水平/垂直滑动各跳过 4 块（偶数个），inv 奇偶不变，但空格 taxicab 变化与符号同步性依然严格成立；穷举不可行，验证器用随机游走 + IDA* 抽样核实。