造数
10 关
1970 年代，英国数学家 John H. Conway 发现了一件事：把两个数集左右一摆， 写成 {L | R}，只要左集里每个数都严格小于右集里每个数，这个记号就代表一个数； 若不满足，它仍是一个更一般的游戏。于是他干脆把「游戏」当作第一性的东西—— 数，不过是游戏世界里最规矩的那一族。
1976 年，他把这套理论写成《On Numbers and Games》（数论与博弈）一书。 书中造出的数包含全部实数，还多得多，后人称之为 surreal numbers（超现实数）。
早在 Conway 的书出版前，Donald Knuth（高德纳，《计算机程序设计艺术》作者）就听说了这套造数法， 兴奋地写下一本薄薄的对话体小说：《Surreal Numbers: How Two Ex-Students Turned on to Pure Mathematics and Found Total Happiness》（1974，Addison-Wesley）——讲一男一女两个学生在荒岛沙滩上， 从 { | } 开始，把数一个个「造」出来。
正是 Knuth 在这本小说里发明了 surreal（超现实的）这个词。本工坊的玩法， 就是那本书第一章的沙滩游戏。
1872 年，Richard Dedekind 用「切割（cut）」把有理数补成实数：把有理数分成左、右两半， 切口处就定义出一个新数（如 √2）。超现实数的 {L | R} 正是同一招的极致推广—— 左、右不再取自有理数，而是取自已经造出来的所有数，并且一天一天、迭代着造。
差别在于：Dedekind 从有理数一步到位得到实数；Conway 从「空集」起跑，按天生长， 于是每个实数都有唯一的「最简」超现实数代表（比如 1/3 要到第 ω 天才出现）。
围盘的收官（终局）里，每一步的价值往往不是整数而是分数，很难用「目」简单记账。 1970–80 年代，Conway 与 Elwyn Berlekamp、Richard Guy 把组合博弈论搬进棋盘： 1982 年的《Winning Ways for Your Mathematical Plays》奠基，1994 年 Berlekamp 与 David Wolfe 又写了《Mathematical Go: Chilling Gets the Last Point》，把收官算成了分数博弈。
一块棋成 「眼」 之后的平稳价值、以及各处官子的先后手，都能用这套「数」精确排列—— 超现实数与游戏值，真的能帮人下棋。
把「天」一直数下去：Day 0 只有 0，Day 1 得 ±1，Day 2 得 ±2、±½，Day 3 得 ±3、±3/2、±3/4、±1/4…… 数越来越稠密。走到第 ω 天（ω 是第一个无穷序数），{1, 2, 3, … | } 登场， 它就是无穷大 ω——比任何实数都大。
这一整套数构成一个真正的域（Field），比实数域大得多， 却完全由一条规则 {L | R} 与「生日」生长出来。Conway 的这句话值得记住： 你不需要无穷，只需要「再往下一天」。