又是一枚康威的硬币——为致敬 Sylvester 而故意拼作 Sylver。双方轮流「铸币」：报出一个不能由已报之数非负组合表出的正整数；谁被迫报出 1，谁就输。 规则一行讲完，棋局却至今未被完全求解：Hutchings 定理保证大素数开局必胜，却不肯透露半步胜着。本站四进：铸币对局、铸币实验室、策略教程、为什么。
被迫报 1 者输。AI 的棋力来自与页面同源的求解引擎：有限局面精确求解（胜方求快、败方求拖）； 开放局面（gcd>1）则诉诸已知理论——对 2 报 3 的经典应手，其余尽力顽抗。若您的开局是素数 ≥5， 理论上您已占了 Hutchings 定理的便宜——但胜着得自己找。
「开放」指已报之数的最大公约数 g>1：此时凡非 g 之倍数又未被表出者皆可报，余地无限——这正是 Sylver Coinage 至今未解的根源。 一旦两枚互素之币落桌，半群 ⟨a,b⟩ 补集骤然有限，最大缺口就是 Frobenius 数；二元情形有 Sylvester 公式 (a−1)(b−1)−1 可对照。
表中只列「一手有限化且制胜」的应手（cap≤12）：对 2 报 3、对 3 报 2——漂亮的对偶，同归半群 ⟨2,3⟩， 对手被迫铸下毒币 1。其余开局任何互素应手都会让对手拿到含 ender 的 N 局， 故真正的应手是多手缠斗（对 4、6、8、9、12 的完整策略见《Winning Ways》，但非一手之功）。 素数 5、7、11 开局必胜是 Hutchings 定理（策略偷取），但定理不给出应手——空格不是「没有胜着」，而是「无人知晓」。
若按常规「报出最后一数者胜」，则开 1 即胜，游戏退化。Conway 把 1 设为毒药：谁报 1 谁输。 于是 1 永远留在可报之列——像达摩克利斯之剑，逼每个棋手在「封住对手」与「不给自己留绝路」之间走钢丝。
互素的 a、b 无法表出的最大整数为 (a−1)(b−1)−1，且不可表之数恰有 (a−1)(b−1) 个。 证明的钥匙：把 0,…,ab−1 排成 a 行 b 列的表格，数 n 写在 (n mod a, n mod b)——同行者两两可互表， 每行恰有一个缺口，缺口从上到下递增，最深的缺口就是 Frobenius 数。 例如 ⟨4,5⟩：缺口 {1,2,3,6,7,11}，最大 11 = 3×4−1，共 12 = 3×4 个。
已报之数的全体非负组合构成数值半群 ⟨gens⟩；合法着恰是它的补集（gap）。 gcd=1 时补集有限（否则无限——游戏还「在大海上」）。求最大 gap 即 Frobenius 铸币问题： 二元有上式闭解，三元起无闭式，变元个数不定时一般判定是 NP-难的。本页面的求解引擎走的是另一条路： 对模最小币的每个剩余类求「最短可表值」（Dijkstra），从而一次列出全部缺口。
有限局面中，若最大的可报数 g* 具有性质「报其他任何合法数都会把 g* 杀掉」（即 g* 落入新半群）， 则 g* 称为 ender。此时轮走者可循「ender 策略」取胜：若非 ender 着中有胜着，走之； 若皆非胜着，则走 ender——此后对手任一着法所至的局面，都比原局面少了一枚币， 归纳地可偷取其胜势（⟨2,3⟩ 只剩 {1} 是唯一例外：ender 局面也可面为 P）。 对两枚互素之币 a、b，其 Frobenius 数 (a−1)(b−1)−1 恰为 ender（引擎可逐项验证：F 减去任一缺口皆可表出）， 故两枚互素之币落桌后，行棋方几乎必胜——这就是 Hutchings 定理的核心：素数 p≥5 开局， 对手无论应何数，⟨p,x⟩ 的 Frobenius 数都是 ender，先手稳操胜券——但定理不指认胜着。
本站引擎对 5、7 开局后在应手 ≤12 范围内程序验证了「一切应手皆先手 N」——Hutchings 的有界影子； 同时也实证了它的另一面：对 3、4 等开局，任何一手有限化应手都送出 N 局——真正的应手是多手缠斗。
① 是否存在非素数的必胜开局？（连 4 都已知是败着，但 10、14、15……无人完全知晓。） ② 素数开局的显式必胜策略是什么？③ 开放局面（gcd>1）的一般理论几乎整片空白。 一个规则一行讲完的游戏，四十五年来仍向人类讨教。
参考文献：Berlekamp–Conway–Guy《Winning Ways for your Mathematical Plays》(1982) Sylver Coinage 一节； J. J. Sylvester, Educational Times, Q7382 (1884)；Wikipedia "Sylver coinage"；AMS Feature Column "What is a combinatorial game?"。