第 二十 站 · 均匀密铺图鉴 ｜ 九章格数学 PhiloMath
密铺万象 · Archimedean Tilings
用等边正多边形（边长一律为 1、边与边整条相贴）铺满平面，方式屈指可数——11 种均匀密铺，连同三个"只用一种"的正则元老。放大镜下，每个顶点都在自报家门：3.6.3.6，还是 4.6.12？
十一图鉴
这里只谈等边边对边密铺：所有正多边形边长都等于 1，相邻两块整条边严丝合缝地贴上。每种均匀密铺以顶点记号命名——绕一个顶点逆时针一圈，依次写下各正多边形的边数。点卡片送进放大镜。
放大镜 · 顶点记号追踪
拖动平移，按钮缩放。指尖靠近任一顶点（不必精确点到），最近的那个顶点就会亮起：它周围的多边形依次点亮，逆时针报出记号——同一密铺里，每个顶点报的都一样。
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三角形
四边形
五边形
六边形
八边形
十二边形
轻触 / 悬停顶点附近即可——自动吸附最近顶点
拼图设计 · 亲手铺一个
整块画布就是一块有限区域，目标就是把它铺满（呈现区域边到边不留白）。从调色板选一种正多边形，点画布上的虚影把它吸附贴上去——边长恒为 1，边与边自动整条对齐。每放一块，顶点上的角度账实时结算：凑满 360° 的顶点就会合拢并报出记号。这里不限 11 种，您完全可以拼出 2-均匀、3-均匀的花样，也可以故意拼一个"铺不开"的怪记号，看它在哪儿卡住。懒得一块块点时，就用「一键铺满」直接拿一种已验证的均匀密铺把整块区域铺满。
一键铺满：
用已验证的 11 种均匀密铺之一，把整块画布一块不多一块不少地铺满。
已铺多边形
虚影＝可放位置（点它落下）
顶点还可续
顶点封不住
虚影出界即止（区域＝整块画布）
调色板里选一个形状，再点画布——第一块会落在正中央。之后点虚影继续铺。
密铺侦探挑战
同样是等边边对边的规矩。两案轮办：认图——看密铺认记号；断案——一个记号能不能铺满平面？角度账只是第一关。
第 1 / 5 题
答对 0
为什么只有八种？
全程限定等边边对边：正多边形边长皆为 1、整条边相贴。11 种均匀密铺里，3 种是"只用一种正多边形"的正则元老；剩下 8 种才叫阿基米德密铺。而这 8 种的"名额"，一步角度账就能卡死。
第一步是角度账：正 n 边形每个内角是 (n−2)×180°/n。绕一个顶点拼满一圈，内角必须恰好加成 360°——多一度少一度都不行。常用内角：
把正多边形（边数 3 到 42 之间有效）凑成 360°，全部组合只有 17 种记号。其中 11 种真能铺开（下表绿行），6 种只赢了角度、输给了平面的几何结构（红行）——比如 3.3.4.12：十二边形每个顶点都被"正方形-三角-三角"的角落环绕，可十二边形一共 12 个顶点、每个都要一只这样的"脚"，而每只脚又只 supply 一只……数一数就对不上账，铺到第二步就散架。
11 种里挑掉 3 种正则元老（3.3.3.3.3.3、4.4.4.4、6.6.6），剩下的 8 种阿基米德密铺就是全部家当。多一个没有，少一个也不行——这条短名单是欧几里得之后一千九百年间，由开普勒（1619，《世界的和谐》）最终钉死的。