判决书：Klein 四元群
这个问题不需要碰运气——一个七行的群论论证就能把「末行哪里可、哪里不可」说死。主角是 Klein 四元群 ℤ₂×ℤ₂＝{0, e₁, e₂, e₃}：最小的非循环群——四个元素各自与自己相加得 0，任何两个非零元相加恰得第三个（e₁⊕e₂＝e₃），交换律当然成立。
第一步 · 给十五个孔发三色通行证
把 ℤ₂×ℤ₂ 的三个非零元 e₁、e₂、e₃ 当成三种颜色，按下图给 15 个孔染色（染色方式由程序从「每条跳线三色齐全」的线性方程组解出，本质唯一）。于是每条可跳直线上的三个相邻孔，恰好一 e₁、一 e₂、一 e₃，无一例外——36 条跳线全部程序核验通过。
图 1 · 三色棋盘：任一方向的连续三孔必是 e₁、e₂、e₃ 各一。图中金色跳线演示一次跳跃：吃掉 e₁ 与 e₂，落子补回 e₃＝e₁⊕e₂。
第二步 · 不变量：全盘之「异或」纹丝不动
把一个局面的类定义为：盘上所有棋子所在孔的类标在 ℤ₂×ℤ₂ 中求和（即逐位异或）。一次跳跃吃掉类标 x、y 的两子、补回类标 z 的一子，而三孔同线保证 x⊕y⊕z＝0——故
Σ棋子 ⊕ x ⊕ y ⊕ z ＝ Σ棋子 ⊕ (x⊕y⊕z) ＝ Σ棋子 （不变！）
开局顶孔空：三色各恰有 5 孔，e₃ 色被拿走一个，故开局类＝e₁⊕e₂＝e₃。无论怎么跳，这个类永远不变。
第三步 · 宣判：末行五孔，四孔死刑
若终局只剩一子，这枚子独自承担全盘的类，故它必须站在 e₃ 类的孔上。全盘 e₃ 孔恰 5 个（下图金色），而末行五孔中只有正中的 13 号是 e₃——所以：
图 2 · 与开局同类的 5 个孔（金色）。末行 11–15 号中，只有 13 号（正中）够格做终局单子；11、12、14、15 号被不变量直接判死，一步都不用试。
| 末行孔位 | 11 | 12 | 13（正中） | 14 | 15 |
|---|---|---|---|---|---|
| 类标 | e₂ | e₁ | e₃ | e₁ | e₂ |
| 判决 | 无解 | 无解 | 16 128 解 | 无解 | 无解 |
第四步 · 类匹配还不够，引擎来穷举
不变量只是必要条件：第 5 号孔也是 e₃ 类，与开局同类，可穷举引擎把它的 3 012 个后继死局全部走遍——0 解。真正可达的单子终点只有四个：
| 单子终点（孔号） | 1（回到顶孔） | 7 | 10 | 13（末行正中） | 5 |
|---|---|---|---|---|---|
| 解法数 | 6 816 | 3 408 | 3 408 | 16 128 | 0（类匹配仍无解） |
合计 29 760 种单子终局。末行正中的 16 128 种解法中，最省事的一种只有 13 步（每跳一步必少一子，13 步是下限）——「对局」页的演示按钮放的就是它，且与 Cracker Barrel 官方教程的解法逐步一致。程序复演通过
附 · 官方 13 步解（孔号 1–15）
为什么偏偏是 Klein 四元群？三角点阵里三个跳行方向两两成 60°，任何一条跳线的三孔在模 2 的坐标语言里恰是「三个非零元彼此不同、求和为零」的组合——这正是 ℤ₂×ℤ₂ 的加法表。正方形棋盘的独立钻石棋要用 16 类位置判决（见本站独立钻石棋工坊），三角盘因点阵对称性更高而简化为 Klein 群的 3 色定理；Bell（2007）把它推广成任意尺寸三角盘的可解性充要条件。