第六部我们用印章盖出墙纸；这一部您直接执笔作画——数学藏在引擎里：您只需画好一个基本域，十七种面饰群自动把它繁殖成整面墙。数学是骨骼，艺术是血肉。
面饰（wallpaper）是沿两个方向无限重复的平面纹样：墙纸、地砖、蜂窝、窗棂、伊斯兰几何纹样。它的全部对称构成面饰群——无限群，却只被 17 种结构统治（1891 年费奥多罗夫完成分类）。晶体学限制：旋转只能是 1、2、3、4、6 折——五折与七折被格的平移一致性直接排除。
| 晶格 | 家族（p = 初基格，c = 心格；m = 镜，g = 滑移；数字 = 最高旋转阶） | ||||||||||||||||
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| 斜格 | p1 | p2 | |||||||||||||||
| 矩形格 | pm | pg | pmm | pmg | pgg | ||||||||||||
| 菱形格 | cm | cmm | |||||||||||||||
| 正方格 | p4 | p4m | p4g | ||||||||||||||
| 六角格 | p3 | p3m1 | p31m | p6 | p6m | ||||||||||||
| IUC | 中文名 | 点群 | 对称元素签名 | 每格像数 |
|---|---|---|---|---|
| p1 | 平移墙 | C1 | 仅平移 | 1 |
| p2 | 旋转墙 | C2 | 180° 心 ×4 / 格 | 2 |
| pm | 竖镜墙 | Cs | 平行镜 ×2 / 格 | 2 |
| pg | 滑移墙 | Cs | 平行滑移 ×2 / 格，无镜 | 2 |
| cm | 菱镜墙 | Cs | 镜与滑移交替（菱格半格心签名） | 4 |
| pmm | 双镜墙 | D2 | 垂直双镜 + 半转心，全对称矩格 | 4 |
| pmg | 镜滑墙 | D2 | 镜 + 错位半转心 + 滑移 | 4 |
| pgg | 双滑墙 | D2 | 双向滑移 + 心，无镜 | 4 |
| cmm | 菱双镜墙 | D2 | 菱格双镜 + 半格平移 | 8 |
| p4 | 四方墙 | C4 | 四折心 + 二折心 | 4 |
| p4m | 四方全对称 | D4 | 四折心在镜交点（45° 镜对） | 8 |
| p4g | 四方滑移 | D4 | 四折心错开镜，对角滑移 | 8 |
| p3 | 三折墙 | C3 | 三折心 ×3 / 格，无镜 | 3 |
| p3m1 | 三折镜心 | D3 | 三折心全在镜交点上 | 6 |
| p31m | 三折错镜 | D3 | 部分三折心不在镜上（错位镜） | 6 |
| p6 | 六折墙 | C6 | 六折心 + 三折心 + 二折心 | 6 |
| p6m | 蜂窝全对称 | D6 | 六角镜网（蜂窝 = 蜜蜂的选择） | 12 |
左侧选工具，中间画基本域，右侧调属性；下方选家族、看整面墙实时生成。每一笔都被对称引擎即时繁殖。📱 手机版：工具在画板上方一行，画板占满屏宽，属性在画板下方；折线画满 3 点后点「✅ 闭合折线」收笔。
同一份基本域设计，投到十七个家族上各是什么样子？——这是「面饰群分类定理」的可视化实验台。点选任意卡片即切换画板家族。
| 组件 | 实现 |
|---|---|
| 群元素编码 | g = (M, q)：M 为格基下 2×2 整数矩阵（行主序 4 元组），q 为整数对，真实平移 = q/6 格；与第六部印章引擎同构 |
| 乘法公式 | mul(a,b) = 先 a 后 b：M = M_b·M_a，q = M_b·q_a + q_b（mod 6 归一） |
| 渲染矩阵 | board 坐标 b′ = M·b + 20q → matrix(M00, M10, M01, M11, 20q₀, 20q₁)——全整数分量，零浮点误差 |
| 实空间格 | 斜格 (96,0)+(52,84)、矩格 (104,0)+(0,70)、正方 (96,0)+(0,96)、六角 (100,0)+(50,50√3)；外层 matrix 把 120×120 基本域贴成真实晶格胞 |
| 闭包 | BFS 商群 G/Λ（q mod 6），闭包规模 = 点群阶 ×（菱格 ×2）——17 族逐一与 Python 对拍 |
| 参考线 | 旋转心 b = (I−M)⁻¹·(20q+120n) mod 120；镜 / 滑移轴方向 d = ker(M−I)、法向 p = ker(M+I)，偏移 f = 10(q×d) mod 120，每陪集恰 2 条轴；纯镜判定 k′p ≡ q (mod 6) |